AMC10经典培训教材 - 数学 (10)

基础知识

(1) 分组规则

我们可以用6!种方式排列数字1,2,3,4,5,6。

我们可以用 \( \frac{6!}{2!4!} = {15} \) 种方式排列1,1,2,2,2,2。

我们可以用 \( \frac{6!}{2!2!2!} = {90} \) 种方式排列1,1,2,2,3,3。

我们可以用 \( \frac{6!}{1!5!} = 6 \) 种方式排列1,2,2,2,2。

我们可以用6!种方式排列字母 \( A, B, C, D, E, F \) 。

我们可以用 \( \frac{6!}{2!4!} = {15} \) 种方式排列 \( A, A, B, B, B, B \) 。

我们可以用 \( \frac{6!}{2!2!2!} = {90} \) 种方式排列 \( A, A, B, B, C, C \) 。

我们可以用 \( \frac{6!}{1!5!} = 6 \) 种方式排列 \( A, B, B, B, B, B \) 。

一般地，设不同对象的数量为 \( n \) 。将 \( n \) 分成 \( r \) 组 \( {A}_{1},{A}_{2} \) 、 \( \ldots ,{A}_{r} \) ，使得第 \( {A}_{1},{n}_{2} \) 组有 \( {n}_{1} \) 个对象，第 \( {A}_{2},\ldots ,{n}_{r} \) 组有 \( {A}_{r} \) 个对象，其中 \( {n}_{1} + {n}_{2} + \cdots + {n}_{r} = n \) 。完成此操作的方法数为

\[ \text{so is}N = \frac{n!}{{n}_{1}!{n}_{2}!\cdots {n}_{r}!} \tag{21.1} \]

(2) \( n \) 个不同的球放入 \( m \) 个有标签的盒子

将 \( n \) 个不同的球放入 \( m \) 个有标签的盒子，每个盒子中的球数不限。完成此操作的方法数为 \( N = {m}^{n} \) (21.2)

(3) 正整数解

设 \( n \) 和 \( m \) 为正整数。方程 \( {x}_{1} + {x}_{2} + {x}_{3} + \cdots + {x}_{m} = n \) 的正整数解的个数(21.3)

为

\[ N = \left( \begin{array}{l} n - 1 \\ m - 1 \end{array}\right) \tag{21.4} \]

(4) 非负整数解

设 \( n \) 和 \( m \) 为正整数。方程的非负整数解的个数

\[ {x}_{1} + {x}_{2} + {x}_{3} + \cdots + {x}_{m} = n \]

为

\[ N = \left( \begin{matrix} n + m - 1 \\ m - 1 \end{matrix}\right) \tag{21.5} \]

(5). 球与盒子

情形1:球相同，盒子可区分。

将 \( n \) 个相同的球分配到 \( m \) 个有标签的盒子中的方程为 \( {x}_{1} + {x}_{2} + {x}_{3} + \cdots + {x}_{m} = n \) (21.3)

若每个盒子至少有一个球，则分配方式的数量与方程(21.3)的正整数解数量相同:

\[ N = \left( \begin{array}{l} n - 1 \\ m - 1 \end{array}\right) \tag{21.4} \]

若每个盒子中的球数不受限制，则分配方式的数量与方程(21.3)的非负整数解数量相同:

\[ N = \left( \begin{matrix} n + m - 1 \\ m - 1 \end{matrix}\right) \tag{21.5} \]

情形2:球可区分，盒子可区分。

三步法

(1) 数字分离

(2) 使用组合分配球，以及

(3) 使用分组规则排序。

例题

1. 球相同，盒子可区分

例1.(2001 AMC 10 第19题)Pat想从充足供应的三种甜甜圈中买四个:糖霜、巧克力和糖粉。有多少种不同的选择？

(A) 6 (B) 9 (C) 12 (D) 15 (E) 18

解答:(D)。

方法1(官方解答):

可能的选法数量即为该方程的非负整数解个数

\[ g + c + p = 4 \]

其中 \( g, c \) 、 \( p \) 和 \( \left( {4,0,0}\right) ,\left( {0,4,0}\right) \) 分别表示糖霜甜甜圈、巧克力甜甜圈和糖粉甜甜圈的数量。该方程共有15组非负整数解: \( \left( {0,0,4}\right) ,\left( {3,0,1}\right) ,\left( {3,1,0}\right) ,\left( {1,3,0}\right) ,\left( {0,3,1}\right) ,\left( {1,0,3}\right) ,\left( {0,1,3}\right) ,\left( {2,2,0}\right) ,\left( {2,0,2}\right) ,\left( {0,2,2}\right) \) 、 \( \left( {2,1,1}\right) ,\left( {1,2,1}\right) \) 、 \( {x}_{1} + {x}_{2} + {x}_{3} + \cdots + {x}_{m} = n \) 以及(1,1,2)。方法2(我们的解答):这是一个非负整数解问题， \( m = 3 \) ，其中 \( n = 4 \) 且 \( {x}_{1} + {x}_{2} + {x}_{3} = 4 \) 。因此我们有

非负整数解的个数为

\[ N = \left( \begin{matrix} 4 + 3 - 1 \\ 3 - 1 \end{matrix}\right) = \left( \begin{array}{l} 6 \\ 2 \end{array}\right) = {15}. \]

例2. 帕特想从四种充足供应的甜甜圈中选购七个:糖霜、巧克力、糖衣和糖粉。若她每种至少买一个，有多少种不同的选购方式？

(A) 20 (B) 9 (C) 12 (D) 15 (E) 18

解答:(A)。

这是一个正整数解问题， \( {x}_{1} + {x}_{2} + {x}_{3} + \cdots + {x}_{m} = n \) ，其中 \( m \) \( = 4 \) 且 \( n = 7 \) 。因此我们有 \( {x}_{1} + {x}_{2} + {x}_{3} + {x}_{4} = 7 \)

非负整数解的个数为 \( N = \left( \begin{array}{l} 7 - 1 \\ 4 - 1 \end{array}\right) = \left( \begin{array}{l} 6 \\ 3 \end{array}\right) = {20} \) 。

例3.(2003 AMC 10 A 第21题)托盘里只有巧克力曲奇、燕麦曲奇和花生酱曲奇，每种至少六块。帕特要从中选六块，有多少种不同的六块组合？

(A) 22 (B) 25 (C) 27 (D) 28 (E) 72

解答:(D)。

方法1(官方解答):

三种饼干的数量之和必须为六。和为六的非负整数组合有 \( 0,0,6;0,1,5;0,2,4;0,3,3;1,1,4;1,2,3 \) ；以及2,2,2。这些组合的每一种排列对应一种不同的饼干组合。对于 \( 0,0,6;0,3,3 \) 和1,1,4这两组，每组各有3种排列；对于 \( 0,1,5;0,2,4 \) 和1,2,3这两组，每组各有6种排列；而2,2,2只有1种排列。因此，六种饼干的总组合数为 \( 3 \times 3 + 3 \times 6 + 1 = {28} \) 。方法二(我们的解法):这是一个非负整数解问题， \( {x}_{1} + {x}_{2} + {x}_{3} + \cdots + {x}_{m} = n \) ，其中 \( m = 3 \) 且 \( n = 6 \) 。所以我们有 \( {x}_{1} + {x}_{2} + {x}_{3} = 6 \)

非负整数解的个数为 \( N = \left( \begin{matrix} 6 + 3 - 1 \\ 3 - 1 \end{matrix}\right) = \left( \begin{array}{l} 8 \\ 2 \end{array}\right) = {28} \) 。

例4. 帕姆有12块完全相同的糖果，想分给她的3个孩子。她有多少种分法，使得每个孩子至少得到2块糖果？

(A) 28 (B) 24 (C) 20 (D) 18 (E) 16

解答:(A)。

方法一:

设 \( {x}_{1},{x}_{2},{x}_{3} \) 分别表示三个孩子得到的糖果数量。问题要求方程 \( {x}_{1} + {x}_{2} + {x}_{3} = {12} \) 的正整数解的个数。

先给每人分2块糖果，这样每人已得2块。现在还剩 \( {12} - 6 = 6 \) 块。

接下来将剩下的6块糖果无限制地分给这三个孩子:

\[ {x}_{1} + {x}_{2} + {x}_{3} = 6\text{.} \]

上述方程的非负整数解的个数为

\[ \left( \begin{matrix} 6 + 3 - 1 \\ 3 - 1 \end{matrix}\right) = \left( \begin{array}{l} 8 \\ 2 \end{array}\right) = {28} \]

方法二:

设 \( {x}_{1},{x}_{2},{x}_{3} \) 分别表示三个孩子得到的糖果数量。问题要求方程 \( {x}_{1} + {x}_{2} + {x}_{3} = {12} \) 的正整数解的个数。

先给每人分1块糖果，这样每人已得1块。现在还剩 \( {12} - 3 = 9 \) 块。

接下来将剩下的9块糖果分给这三个孩子，每人至少再得1块。

\( {x}_{1} + {x}_{2} + {x}_{3} = 9 \) .

上述方程的正整数解的个数为

\[ \left( \begin{array}{l} 9 - 1 \\ 3 - 1 \end{array}\right) = \left( \begin{array}{l} 8 \\ 2 \end{array}\right) = {28} \]

例5. 将20个完全相同的足球分给4个男孩，每个男孩至少得到4个足球。有多少种分法？

(A) 20 (B) 28 (C) 35 (D) 18 (E) 24

解答:(C)。

因为每个男孩至少得到四个足球，我们先给每个男孩4个球，这样还剩下4个球。

该问题也可通过求方程 \( {x}_{1} + {x}_{2} + {x}_{3} + {x}_{4} = 4 \Rightarrow \left( \begin{array}{l} 4 + 4 - 1 \\ 4 - 1 \end{array}\right) = \left( \begin{array}{l} 7 \\ 3 \end{array}\right) = {35} \) 的非负整数解个数来解决。

例6. 三个人在不切开任何水果的情况下，将六个相同的苹果、一个橙子、一个李子和一个橘子分配给自己，有多少种分法？

(A) 540 (B) 120 (C) 720 (D) 756 (E) 1200

解答:(D)。

我们将水果的分配过程分为四步:苹果、橙子、李子和橘子。将六个相同物品分给三人的方法数等于求方程 \( x + y + z = 6 \) 的非负整数解个数，其方法数为 \( \left( \begin{array}{l} 8 \\ 2 \end{array}\right) \) 。将一个橙子分给三人的方法数为3，同理李子和橘子也是如此。应用乘法原理，总的分法数为 \( \left( \begin{array}{l} 8 \\ 2 \end{array}\right) \times 3 \times 3 \times 3 = {756} \) 。

例7. 求满足 \( \left( {{x}_{1},{x}_{2},{x}_{3},{x}_{4}}\right) \) 的正

偶整数有序四元组 \( {x}_{1} + {x}_{2} + {x}_{3} + {x}_{4} = {22} \) 的个数。

(A) 140 (B) 120 (C) 72 (D) 84 (E) 240

解答:(B)。

由于 \( {x}_{1},{x}_{2},{x}_{3},{x}_{4} \) 为正偶整数，我们令

\( {x}_{1} = 2{y}_{1} \)

\( {x}_{2} = 2{y}_{2} \)

\( {x}_{3} = 2{y}_{3} \)

\( {x}_{4} = 2{y}_{4} \)

\( {y}_{1},{y}_{2},{y}_{3} \) ，且 \( {y}_{4} \) 为正整数。

原方程变为:

\( 2\left( {{y}_{1} + {y}_{2} + {y}_{3} + {y}_{4}}\right) = {22}\; \Rightarrow \;{y}_{1} + {y}_{2} + {y}_{3} + {y}_{4} = {11} \) (1)

由(21.4)，正整数解的个数为 \( \left( \begin{array}{l} {11} - 1 \\ 4 - 1 \end{array}\right) = \left( \begin{array}{l} {10} \\ 3 \end{array}\right) = {120} \) 。

例8.(1998 AIME)设 \( n \) 为满足 \( \left( {{x}_{1},{x}_{2},{x}_{3}}\right. \) 的正奇数有序四元组 \( \left( {{x}_{1},{x}_{2},{x}_{3}}\right. \) 的个数，

\( \left. {x}_{4}\right) \) ，求 \( \frac{n}{100} \) 。

解答:196。

我们有 \( {x}_{1} + {x}_{2} + {x}_{3} + {x}_{4} = {98} \) 。

由于 \( {x}_{1},{x}_{2},{x}_{3},{x}_{4} \) 为正奇数，我们令

\( {x}_{1} = 2{y}_{1} - 1 \)

\( {x}_{2} = 2{y}_{2} - 1 \)

\[ {x}_{3} = 2{y}_{3} - 1 \]

\[ {x}_{4} = 2{y}_{4} - 1 \]

\( {y}_{1},{y}_{2},{y}_{3} \) ，且 \( {y}_{4} \) 为正整数。

原方程变为:

\[ 2\left( {{y}_{1} + {y}_{2} + {y}_{3} + {y}_{4}}\right) = {98} + 4 \Rightarrow \;{y}_{1} + {y}_{2} + {y}_{3} + {y}_{4} = {51} \tag{1} \]

由(21.4)，正整数解的个数为 \( n = \left( \begin{array}{l} {51} - 1 \\ 4 - 1 \end{array}\right) = \left( \begin{array}{l} {50} \\ 3 \end{array}\right) = {19600} \) 。

\[ \frac{n}{100} = {196} \]

2. 球可区分，盒子可区分。

例9. 将五名学生分配到4个不同小组，使每个小组至少有一名学生，有多少种方法？

(A) 120 (B) 240 (C) 540 (D) 720 (E) 715

解答:(B)。

方法1:(直接法)

三步:

(1) 数字划分:

(2) 元素(球)分配: \( \left( \begin{array}{l} 5 \\ 2 \end{array}\right) \times \left( \begin{array}{l} 3 \\ 1 \end{array}\right) \times \left( \begin{array}{l} 2 \\ 1 \end{array}\right) \times \left( \begin{array}{l} 1 \\ 1 \end{array}\right) \)

(3) 排序: \( \;2,1,1,1\; \Rightarrow \;\frac{4!}{3! \times 1!} \)

答案: \( \left( \begin{array}{l} 5 \\ 2 \end{array}\right) \times \left( \begin{array}{l} 3 \\ 1 \end{array}\right) \times \left( \begin{array}{l} 2 \\ 1 \end{array}\right) \times \left( \begin{array}{l} 1 \\ 1 \end{array}\right) \times \frac{4!}{3! \times 1!} = {240} \) 。

方法二:(间接法)

若无任何限制，方法数为 \( {4}^{5} = {1024} \) 。

以下情况不成立:

\( 5 = 5 + 0 + 0 + 0 \)

\[ \left( \begin{array}{l} 5 \\ 5 \end{array}\right) \times \frac{4!}{3! \times 1!} = 4 \]

\( = 4 + 1 + 0 + 0 \)

\[ \left( \begin{array}{l} 5 \\ 4 \end{array}\right) \times \left( \begin{array}{l} 1 \\ 1 \end{array}\right) \times \frac{4!}{2!} = {60} \]

\( = 3 + 2 + 0 + 0 \)

\[ \left( \begin{array}{l} 5 \\ 3 \end{array}\right) \times \left( \begin{array}{l} 2 \\ 1 \end{array}\right) \times \left( \begin{array}{l} 1 \\ 1 \end{array}\right) \times \frac{4!}{2!} = {120} \]

\( = 3 + 1 + 1 + 0 \)

\[ \left( \begin{array}{l} 5 \\ 3 \end{array}\right) \times \left( \begin{array}{l} 2 \\ 1 \end{array}\right) \times \left( \begin{array}{l} 1 \\ 1 \end{array}\right) \times \frac{4!}{2!} = {240} \]

\( = 2 + 2 + 1 + 0 \)

\[ \left( \begin{array}{l} 5 \\ 2 \end{array}\right) \times \left( \begin{array}{l} 3 \\ 2 \end{array}\right) \times \left( \begin{array}{l} 1 \\ 1 \end{array}\right) \times \frac{4!}{2!} = {360} \]

\( 4 + {60} + {120} + {240} + {360} = {784}. \)

答案为 \( {1024} - {784} = {240} \) 。

例10. 将6本不同的书分给3名学生，使每名学生至少得到一本书，共有多少种分法？

(A) 540 (B) 120 (C) 720 (D) 495 (E) 715 解答:(A)。

方法一:

1 1 4 4 \( \left( \begin{array}{l} 6 \\ 4 \end{array}\right) \times \left( \begin{array}{l} 2 \\ 1 \end{array}\right) \times \frac{3!}{2!} = {90} \)

\( \left\lbrack \begin{array}{llll} 1 & 2 & 3 & \left( \begin{array}{l} 6 \\ 3 \end{array}\right) \times \left( \begin{array}{l} 3 \\ 2 \end{array}\right) \times 3! \end{array}\right\rbrack = {360} \)

\( 2\;2\;2\;\left( \begin{array}{l} 6 \\ 2 \end{array}\right) \times \left( \begin{array}{l} 4 \\ 2 \end{array}\right) \times 1 = {90} \)

总数为540。

方法二:若无任何限制，方法数为 \( {3}^{6} = {729} \) 。

以下情况不成立:

\[ 6 = 6 + 0 + 0\;\left( \begin{array}{l} 6 \\ 6 \end{array}\right) \times \frac{3!}{2!} = 3 \]

\[ = 5 + 1 + 0\;\left( \begin{array}{l} 6 \\ 5 \end{array}\right) \times \left( \begin{array}{l} 1 \\ 1 \end{array}\right) \times 3! = {36} \]

\[ = 4 + 2 + 0\;\left( \begin{array}{l} 6 \\ 4 \end{array}\right) \times \left( \begin{array}{l} 2 \\ 2 \end{array}\right) \times 3! = {90} \]

\[ = 3 + 3 + 0\;\left( \begin{array}{l} 6 \\ 3 \end{array}\right) \times \left( \begin{array}{l} 3 \\ 3 \end{array}\right) \times \frac{3!}{2!} = {60} \]

\[ 3 + {36} + {90} + {60} = {189}. \]

答案为 \( {729} - {189} = {540} \) 。

例11.(2007 AMC 10 A)两名导游带领六名游客。导游决定分开行动。每位游客必须选择一名导游，但规定每名导游至少带一名游客。共有多少种不同的导游与游客分组方式？

(A) 56 (B) 58 (C) 60 (D) 62 (E) 64

解答:(D):

方法一(官方解答):

第一位导游可以带除全部游客或零游客外的任意组合游客，因此可能性数量为

\[ \left( \begin{array}{l} 6 \\ 1 \end{array}\right) + \left( \begin{array}{l} 6 \\ 2 \end{array}\right) + \left( \begin{array}{l} 6 \\ 3 \end{array}\right) + \left( \begin{array}{l} 6 \\ 4 \end{array}\right) + \left( \begin{array}{l} 6 \\ 5 \end{array}\right) = 6 + {15} + {20} + {15} + 6 = {62} \]

方法二(官方解法):

如果每位导游不必至少带一名游客，那么每位游客可独立选择两位导游之一。此时共有 \( {2}^{6} = {64} \) 种可能安排。必须排除所有游客选择同一位导游的两种安排，最终剩下 \( {64} - 2 = {62} \) 种可能

安排。

方法三(我们的解法):

步骤1:数字分离:

步骤2:球分配:

步骤3:排序:

答案是 \( {12} + {30} + {20} = {62} \) 。

例12.(2010 AMC 10 B 第22题)七颗不同的糖果要分装到三个袋子里。红袋和蓝袋都必须至少分到一颗糖果；白袋可以为空。共有多少种分法？

(A) 1930 (B) 1931 (C) 1932 (D) 1933 (E) 1934

解答:(C)。

方法1(官方解答):

若对每个袋子的糖果数量没有限制，则每颗糖果有3种分法。此时共有 \( {3}^{7} \) 种分法。然而，这包含了红袋或蓝袋为空的情况。

若红袋为空，则糖果有 \( {2}^{7} \) 种分法。

蓝袋为空时同理。两种总数都包含了所有糖果都放进白袋的情形。因此，红袋或蓝袋为空的分配方式共有 \( {2}^{7} + {2}^{7} - 1 \) 种。

满足给定条件的分配方式共有 \( {3}^{7} - \left( {{2}^{7} + {2}^{7} - 1}\right) = {1932} \) 种。

方法2(我们的解法):

三步:

(1) 数字拆分，(2) 元素(球)分配，(3) 排序:

答案: \( {14} + {42} + {70} + {16} + {630} + {420} + {630} = {1932} \) 。

方法3(我们的方法):

若没有任何限制，方式数为 \( {3}^{7} = {2187} \) 。

以下情况不成立:

\( 3 + {28} + {84} + {140} = {255} \) .

答案是 \( {2187} - {255} = {1932} \) 。

例13. 八名学生要分配到马西斯先生和英格利希女士的班级中。每位老师最多只能带6名学生。马西斯先生的班级里可能出现多少种不同的学生组合？

(A) 190 (B) 191 (C) 192 (D) 238 (E) 237

解答:(D)。

我们有3种情况: \( 8 = 6 + 2 = 5 + 3 = 4 + 4 \) 。

情况1: \( \left( \begin{array}{l} 8 \\ 6 \end{array}\right) \left( \begin{array}{l} 2 \\ 2 \end{array}\right) \times 2! = {56} \)

情况2: \( \left( \begin{array}{l} 8 \\ 5 \end{array}\right) \left( \begin{array}{l} 3 \\ 3 \end{array}\right) \times 2! = {112} \)

情况3: \( \left( \begin{array}{l} 8 \\ 4 \end{array}\right) \left( \begin{array}{l} 4 \\ 4 \end{array}\right) = {70} \)

答案是 \( {56} + {112} + {70} = {238} \) 。

例14. 将6个人分成三个

每组两人的小组，有多少种不同的分法？

(A) 12 (B) 24 (C) 72 (D) 90 (E) 15

解答:(E)。

首先考虑顺序，并假设三个小组各不相同。

\( 6 = 2 + 2 + 2 \)

设分组的方法数为 \( x \) 。

于是 \( x \times 3! = P \)

\[ \left( \begin{array}{l} 6 \\ 2 \end{array}\right) \times \left( \begin{array}{l} 4 \\ 2 \end{array}\right) \times \left( \begin{array}{l} 2 \\ 2 \end{array}\right) \times \frac{3!}{3!} = {90} \]

\[ \text{So}x = \frac{P}{3!} = \frac{90}{6} = {15}\text{.} \]

例15. 将9人分成人数分别为2人、3人、4人的三组，共有多少种不同的分法？

(A) 1330 (B) 1630 (C) 1260 (D) 1900 (E) 1930

解答:(C)。

首先考虑顺序，假设三组各不相同。 \( 9 = 2 + 3 + 4 \)

设分组方式数为 \( x \) ，则 \( x \times 3! = P \)

\[ \left( \begin{array}{l} 9 \\ 2 \end{array}\right) \times \left( \begin{array}{l} 7 \\ 3 \end{array}\right) \times \left( \begin{array}{l} 4 \\ 4 \end{array}\right) \times \frac{3!}{1!1!1!} = {7560} \]

\[ \text{So}x = \frac{P}{3!} = \frac{7560}{6} = {1260}\text{.} \]

例16. 将10名学生分成两队，若两队人数不必相等，共有多少种分法？

(A) 540 (B) 511 (C) 515 (D) 560 (E) 500 解答:(B)。

方法1:

先给两队分别标为A队和B队

\[ {20} + {90} + {240} + {420} + {252} = {1022} \]

然后我们将结果除以2，因为最初有两支队伍未被标记。总方式数即为 \( {1022}/2 = {511} \) 。

方法二:

我们首先把这个问题当作“不同的球放入不同的盒子”问题来处理。

我们有两个盒子和10个球，答案是 \( {2}^{10} = {1024} \) 。

由于两支队伍没有不同标记，我们将结果除以2，得到1024/ \( 2 = {512} \) 。

同时，10可以写成 \( {10} + 0 \) ，这种划分不会形成两支队伍，因此答案是 \( {512} - 1 = {511} \) 。

例17.(2004年Mathcounts州队赛第10题)卡洛斯想购买12张不同的光盘(CD)。其中4张是饶舌音乐，5张是乡村音乐，3张是重金属音乐。卡洛斯从这12张CD中随机挑选5张购买。求他购买的CD中至少包含三种类别各一张的概率。

解答:295/396。

方法一:(直接法)

总结果数，即分数的分母，是 \( \left( \begin{matrix} {12} \\ 5 \end{matrix}\right) = {792} \)

有利结果数:

\[ \begin{array}{lll} R & C & M \end{array} \]

\[ 5 = 3 + 1 + 1 \]

\[ \left( \begin{array}{l} 4 \\ 3 \end{array}\right) \left( \begin{array}{l} 5 \\ 1 \end{array}\right) \left( \begin{array}{l} 3 \\ 1 \end{array}\right) \]

\[ \left( \begin{array}{l} 4 \\ 1 \end{array}\right) \left( \begin{array}{l} 5 \\ 3 \end{array}\right) \left( \begin{array}{l} 3 \\ 1 \end{array}\right) \]

\[ = 1 + 1 + 3 \]

\[ \left( \begin{array}{l} 4 \\ 1 \end{array}\right) \left( \begin{array}{l} 5 \\ 1 \end{array}\right) \left( \begin{array}{l} 3 \\ 3 \end{array}\right) \]

\[ = 2 + 2 + 1 \]

\[ \left( \begin{array}{l} 4 \\ 2 \end{array}\right) \left( \begin{array}{l} 5 \\ 2 \end{array}\right) \left( \begin{array}{l} 3 \\ 1 \end{array}\right) \]

\[ = 2 + 1 + 2 \]

\[ \left( \begin{array}{l} 4 \\ 2 \end{array}\right) \left( \begin{array}{l} 5 \\ 1 \end{array}\right) \left( \begin{array}{l} 3 \\ 2 \end{array}\right) \]

\[ = 1 + 2 + 2 \]

\[ \left( \begin{array}{l} 4 \\ 1 \end{array}\right) \left( \begin{array}{l} 5 \\ 2 \end{array}\right) \left( \begin{array}{l} 3 \\ 2 \end{array}\right) \]

有利结果总数为 \( {60} + {120} + {20} + {180} + {90} + {120} = {590} \) ，结果是 \( P = {590}/{792} = {295}/{396} \) 。方法二:(间接法)如果我们从4张饶舌和5张乡村中各选 \( 5\mathrm{{CD}} \) 张( \( \mathrm{{CD}} \) 种方式)，或选3张重金属和5张乡村( \( \left( \begin{array}{l} 8 \\ 5 \end{array}\right) \) 种方式)，或选4张饶舌和3张重金属( \( \left( \begin{array}{l} 7 \\ 5 \end{array}\right) \) 种方式)，或只选5张乡村( \( \left( \begin{array}{l} 5 \\ 5 \end{array}\right) \) 种方式)，我们共有 \( \left( \begin{array}{l} 9 \\ 5 \end{array}\right) + \left( \begin{array}{l} 8 \\ 5 \end{array}\right) + \left( \begin{array}{l} 7 \\ 5 \end{array}\right) + \left( \begin{array}{l} 5 \\ 5 \end{array}\right) - 2 = {202} \) 种方式。注意:CCCCC被重复计算了，因此从结果中减去2。我们知道分母是总选择数，即 \( \left( \begin{matrix} {12} \\ 5 \end{matrix}\right) = {792} \) 种方式。

因此我们有 \( P = \frac{{792} - {202}}{792} = \frac{590}{792} = \frac{295}{396} \) 。

习题

问题1. 帕特想从四种充足供应的甜甜圈中买五个:糖霜、巧克力、糖衣和糖粉。有多少种不同的选择方式？

(A) 26 (B) 39 (C) 42 (D) 56 (E) 68

问题2。Pat想从四种充足的甜甜圈中买九个:糖霜、巧克力、糖衣和粉糖。如果她必须每种至少买一个，有多少种不同的选择？

(A) 26 (B) 39 (C) 42 (D) 56 (E) 68

问题3。Pam有10块相同的糖果，想分给她的3个孩子。她有多少种分法？

(A) 24 (B) 25 (C) 27 (D) 28 (E) 66

问题4。Pam有12块相同的糖果，想分给她的3个孩子。她有多少种分法使得每个孩子至少得到3块糖果？

(A) 10 (B) 8 (C) 12 (D) 18 (E) 24

问题5。16个相同的足球分给4个男孩，每个男孩至少得到3个足球。有多少种分法？

(A) 20 (B) 28 (C) 35 (D) 18 (E) 24

问题6。三个人如何分配8个相同的苹果、2个橙子、1个李子和1个橘子(不切开任何水果)？

(A) 1540 (B) 2120 (C) 1720 (D) 2430 (E) 1200

问题7。求满足 \( {x}_{1} + {x}_{2} + {x}_{3} + {x}_{4} = {20} \) 的正偶整数有序四元组 \( \left( {{x}_{1},{x}_{2},{x}_{3},{x}_{4}}\right) \) 的个数。

(A) 40 (B) 52 (C) 72 (D) 84 (E) 120

问题8。求满足 \( {x}_{1} + {x}_{2} + {x}_{3} + {x}_{4} + {x}_{5} = {21} \) 的正奇整数有序四元组 \( \left( {{x}_{1},{x}_{2},{x}_{3},{x}_{4}}\right) \) 的个数。

(A) 540 (B) 120 (C) 720 (D) 495 (E) 715

问题9。Pat有八项不同的工作要做。她把全部八项工作分给她的三个孩子，每个孩子至少得到两项工作。Ellen有多少种分法？

(A) 5760 (B) 2003 (C) 2720 (D) 2940 (E) 2715

问题10. 将7本不同的书分给3名学生，每人至少得到一本书，共有多少种分法？

(A) 540 (B) 120 (C) 720 (D) 495 (E) 715

问题11. 将7件不同的礼物分给4名不同的孩子，每个孩子至少得到一件礼物，且每件礼物只给一个孩子，共有多少种分法？

(A) 6760 (B) 7003 (C) 7200 (D) 8400 (E) 7120

问题12. 将7名学生分配到3个不同的组，每组至少有2名学生，共有多少种分法？

(A) 930 (B) 831 (C) 732 (D) 720 (E) 630

问题13. 4个人在3个收银台后排队，有多少种排法？(A) 120 (B) 240 (C) 300 (D) 360 (E) 230

问题14. 将7人分成3组，每组至少2人，共有多少种不同的分法？

(A) 630 (B) 105 (C) 315 (D) 360 (E) 200

问题15. 将3名男性和4名女性分成两组各2人和一组3人，要求每组至少有一名男性和一名女性，共有多少种不同的分法？

(A) 12 (B) 24 (C) 72 (D) 90 (E) 36

问题16. 将8名学生分成两队，若两队人数不必相等，共有多少种分法？

(A) 125 (B) 127 (C) 540 (D) 545 (E) 547

问题17. (2008年Mathcounts学校手册)五名女生(Alexandra、Betsy、Catherine、Deyola和Emily)与一名男生(Frank)一起前往数学竞赛。他们有4间酒店房间，编号1至4。每间最多住两人，且男生必须单独住一间。将学生分配到房间共有多少种不同方式？包括下图所示方式。

解答:

问题1. 解答:(D)。

这是一个非负整数解问题， \( {x}_{1} + {x}_{2} + {x}_{3} + \cdots + {x}_{m} = n \) ，

其中 \( m = 4 \) 且 \( n = 5 \) 。因此我们有 \( {x}_{1} + {x}_{2} + {x}_{3} + {x}_{4} = 5 \)

非负整数解的个数为

\[ N = \left( \begin{matrix} 5 + 4 - 1 \\ 4 - 1 \end{matrix}\right) = \left( \begin{array}{l} 8 \\ 3 \end{array}\right) = {56}. \]

问题2. 答案:(D)。

这是一个正整数解问题， \( {x}_{1} + {x}_{2} + {x}_{3} + \cdots + {x}_{m} = n \) ，其中 \( m \) \( = 4 \) 且 \( n = 9 \) 。因此我们有 \( {x}_{1} + {x}_{2} + {x}_{3} + {x}_{4} = 7 \)

非负整数解的个数为 \( N = \left( \begin{array}{l} 9 - 1 \\ 4 - 1 \end{array}\right) = \left( \begin{array}{l} 8 \\ 3 \end{array}\right) = {56} \) 。

问题3. 答案:(E)。

这是一个非负整数解问题， \( {x}_{1} + {x}_{2} + {x}_{3} + \cdots + {x}_{m} = n \) ，其中 \( m = 3 \) 且 \( n = {10} \) 。因此我们有 \( {x}_{1} + {x}_{2} + {x}_{3} = {10} \)

非负整数解的个数为 \( N = \left( \begin{matrix} {10} + 3 - 1 \\ 3 - 1 \end{matrix}\right) = \left( \begin{array}{l} {12} \\ 2 \end{array}\right) = {66} \) 。

问题4. 答案:(A)。

方法一:

设 \( {x}_{1},{x}_{2},{x}_{3} \) 分别表示三个孩子各自得到的糖果数量。题目要求方程 \( {x}_{1} + {x}_{2} + {x}_{3} = {12} \) 的正整数解的个数。

我们先给每人分发3块糖果，共分发3块。此时剩余 \( {12} - 9 = 3 \) 块。

然后将剩余的6块糖果无限制地分给这些孩子:

\[ {x}_{1} + {x}_{2} + {x}_{3} = 3\text{.} \]

上述方程的非负整数解的个数为

\[ \left( \begin{matrix} 3 + 3 - 1 \\ 3 - 1 \end{matrix}\right) = \left( \begin{array}{l} 5 \\ 2 \end{array}\right) = {10} \]

方法二:

设 \( {x}_{1},{x}_{2},{x}_{3} \) 分别表示三个孩子各自得到的糖果数量。问题要求方程 \( {x}_{1} + {x}_{2} + {x}_{3} = {12} \) 的正整数解的个数。

我们先给每人分2颗糖果，这样每人已得2颗，还剩下 \( {12} - 6 = 6 \) 颗。

接下来将剩下的6颗糖果无限制地分给这些孩子:

\[ {x}_{1} + {x}_{2} + {x}_{3} = 6\text{.} \]

上述方程的正整数解的个数为

\[ \left( \begin{array}{l} 6 - 1 \\ 3 - 1 \end{array}\right) = \left( \begin{array}{l} 5 \\ 2 \end{array}\right) = {10} \]

问题5。解答:(C)。

由于每个男孩至少得到3个足球，我们先给每个男孩3个球，于是还剩下 \( {16} - {12} = 4 \) 个球。

此问题也可通过求方程 \( {x}_{1} + {x}_{2} + {x}_{3} + {x}_{4} = 4 \Rightarrow \left( \begin{array}{l} 4 + 4 - 1 \\ 4 - 1 \end{array}\right) = \left( \begin{array}{l} 7 \\ 3 \end{array}\right) = {35} \) 的非负整数解的个数来解决。

问题6。解答:(D)。

我们将水果的分配过程分为四步:苹果、橙子、李子、橘子。将6个相同的

物品分给3个人，相当于求方程

\( x + y + z = 8 \) 的非负整数解的个数。其解的个数为 \( \left( \begin{array}{l} 8 + 3 - 1 \\ 3 - 1 \end{array}\right) = \left( \begin{array}{l} {10} \\ 2 \end{array}\right) \) 。将

2个橙子分给3个人的方法数，相当于求方程

\( x + y + z = 2 \) 的非负整数解的个数。其解的个数为 \( \left( \begin{array}{l} 2 + 3 - 1 \\ 3 - 1 \end{array}\right) = \left( \begin{array}{l} 4 \\ 2 \end{array}\right) \) 。将

1个李子分给3个人有3种方法。橘子同理。应用乘法原理，可得分配水果的总方法数为 \( \left( \begin{array}{l} {10} \\ 2 \end{array}\right) \times \left( \begin{array}{l} 4 \\ 2 \end{array}\right) \times 3 \times 3 = {2430} \) 。

问题7。解答:(D)。

由于 \( {x}_{1},{x}_{2},{x}_{3},{x}_{4} \) 为偶正整数，我们设

\( {x}_{1} = 2{y}_{1} \)

\( {x}_{2} = 2{y}_{2} \)

\( {x}_{3} = 2{y}_{3} \)

\( {x}_{4} = 2{y}_{4} \)

\( {y}_{1},{y}_{2},{y}_{3} \) 和 \( {y}_{4} \) 为正整数。

给定方程化为:

\[ 2\left( {{y}_{1} + {y}_{2} + {y}_{3} + {y}_{4}}\right) = {20}\; \Rightarrow \;{y}_{1} + {y}_{2} + {y}_{3} + {y}_{4} = {10} \tag{1} \]

由(21.4)，正整数解的个数为 \( \left( \begin{array}{l} {10} - 1 \\ 4 - 1 \end{array}\right) = \left( \begin{array}{l} 9 \\ 3 \end{array}\right) = {84} \) 。

问题8. 解答:(D)。

由于 \( {x}_{1},{x}_{2},{x}_{3},{x}_{4} \) 为奇正整数，我们设

\[ {x}_{1} = 2{y}_{1} - 1 \]

\[ {x}_{2} = 2{y}_{2} - 1 \]

\( {x}_{3} = 2{y}_{3} - 1 \)

\( {x}_{4} = 2{y}_{4} - 1 \)

\[ {x}_{5} = 2{y}_{5} - 1 \]

\( {y}_{1},{y}_{2},{y}_{3},{y}_{4} \) 和 \( {y}_{5} \) 为正整数。

给定方程化为:

\( 2\left( {{y}_{1} + {y}_{2} + {y}_{3} + {y}_{4} + {y}_{5}}\right) = {21} + 5\; \Rightarrow \;{y}_{1} + {y}_{2} + {y}_{3} + {y}_{4} + {y}_{5} = {13} \) (1)

由(21.4)，正整数解的个数为 \( \left( \begin{array}{l} {13} - 1 \\ 5 - 1 \end{array}\right) = \left( \begin{array}{l} {12} \\ 4 \end{array}\right) = {495} \) 。

问题9. 解答:(D)。

三步:

(1) 数字分离: \( 8 = 4 + 2 + 2 \) (情形I) \( = 3 + 3 + 2 \) (情形II)

(2) 元素(球)分配:

(情形I): \( \left( \begin{array}{l} 8 \\ 4 \end{array}\right) \times \left( \begin{array}{l} 4 \\ 2 \end{array}\right) \times \left( \begin{array}{l} 2 \\ 2 \end{array}\right) = {420} \)

(情形II): \( \left( \begin{array}{l} 8 \\ 3 \end{array}\right) \times \left( \begin{array}{l} 5 \\ 3 \end{array}\right) \times \left( \begin{array}{l} 2 \\ 2 \end{array}\right) = {560} \)

(3) 排序:

(情形I) \( 4,2,2\; \Rightarrow \;\frac{3!}{2! \times 1!} = 3 \)

(情况二) \( 3,3,2\; \Rightarrow \;\frac{3!}{2! \times 1!} = 3 \)

答案: \( {420} \times 3 + {560} \times 3 = {2940} \) 。

问题10。解答:(A)。

方法1:

将7拆分为三个正整数之和共有4种方式。

5 1 1 1 1 1 1 \( \left( \begin{array}{l} 7 \\ 5 \end{array}\right) \times \left( \begin{array}{l} 2 \\ 1 \end{array}\right) \times \frac{3!}{2!} = {126} \)

\( 4\;2\;1\;\left( \begin{array}{l} 7 \\ 4 \end{array}\right) \times \left( \begin{array}{l} 3 \\ 2 \end{array}\right) \times \left( \begin{array}{l} 1 \\ 1 \end{array}\right) \times 3! = {630} \)

\( 3\;3\;1\;\left( \begin{array}{l} 7 \\ 3 \end{array}\right) \times \left( \begin{array}{l} 4 \\ 3 \end{array}\right) \times \left( \begin{array}{l} 1 \\ 1 \end{array}\right) \times \frac{3!}{2!} = {420} \)

\( 3\;2\;2\;\left( \begin{array}{l} 7 \\ 3 \end{array}\right) \times \left( \begin{array}{l} 4 \\ 2 \end{array}\right) \times \left( \begin{array}{l} 2 \\ 2 \end{array}\right) \times \frac{3!}{2!} = {630} \)

总计为1806。方法2:若无任何限制，方式数为 \( {3}^{7} = {2187} \) 。以下情况无效:

\[ 7 = 7 + 0 + 0\;\left( \begin{array}{l} 7 \\ 7 \end{array}\right) \times \frac{3!}{2!} = 3 \]

\[ = 6 + 1 + 0\;\left( \begin{array}{l} 7 \\ 6 \end{array}\right) \times \left( \begin{array}{l} 1 \\ 1 \end{array}\right) \times 3! = {42} \]

\[ = 5 + 2 + 0\;\left( \begin{array}{l} 7 \\ 5 \end{array}\right) \times \left( \begin{array}{l} 2 \\ 2 \end{array}\right) \times 3! = {126} \]

\[ = 4 + 3 + 0\;\left( \begin{array}{l} 7 \\ 4 \end{array}\right) \times \left( \begin{array}{l} 3 \\ 3 \end{array}\right) \times 3! = {210} \]

\[ 3 + {42} + {126} + {210} = {381} \]

答案为 \( {2187} - {381} = {1806} \) 。

问题11。解答:(D):

方法1:

将7拆分为五个正整数之和共有3种方式。

\( 4\;1\;1\;1\;\left( \begin{array}{l} 7 \\ 4 \end{array}\right) \times \left( \begin{array}{l} 3 \\ 1 \end{array}\right) \times \left( \begin{array}{l} 2 \\ 1 \end{array}\right) \times \left( \begin{array}{l} 1 \\ 1 \end{array}\right) \times \frac{4!}{3!} = {840} \)

\( 3\;2\;1\;1\;\left( \begin{array}{l} 7 \\ 3 \end{array}\right) \times \left( \begin{array}{l} 4 \\ 2 \end{array}\right) \times \left( \begin{array}{l} 2 \\ 1 \end{array}\right) \times \left( \begin{array}{l} 1 \\ 1 \end{array}\right) \times \frac{4!}{2!} = {5040} \) \( 2\;2\;2\;1\;\left( \begin{array}{l} 7 \\ 2 \end{array}\right) \times \left( \begin{array}{l} 5 \\ 2 \end{array}\right) \times \left( \begin{array}{l} 3 \\ 2 \end{array}\right) \times \left( \begin{array}{l} 1 \\ 1 \end{array}\right) \times \frac{4!}{3!} = {2520} \) 总计为8400。方法2:若无任何限制，方式数为 \( {4}^{7} = {16384} \) 。以下情况无效:

\[ 7 = 7 + 0 + 0 + 0\;\left( \begin{array}{l} 7 \\ 7 \end{array}\right) \times \frac{4!}{3!} = 4 \]

\[ = 6 + 1 + 0 + 0\;\left( \begin{array}{l} 7 \\ 6 \end{array}\right) \times \left( \begin{array}{l} 1 \\ 1 \end{array}\right) \times \frac{4!}{2!} = {84} \]

\[ = 5 + 2 + 0 + 0\;\left( \begin{array}{l} 7 \\ 5 \end{array}\right) \times \left( \begin{array}{l} 2 \\ 2 \end{array}\right) \times \frac{4!}{2!} = {252} \]

\[ = 4 + 3 + 0 + 0\;\left( \begin{array}{l} 7 \\ 4 \end{array}\right) \times \left( \begin{array}{l} 3 \\ 3 \end{array}\right) \times \frac{4!}{2!} = {420} \]

\[ \left( \begin{array}{l} 7 \\ 5 \end{array}\right) \times \left( \begin{array}{l} 2 \\ 1 \end{array}\right) \times \left( \begin{array}{l} 1 \\ 1 \end{array}\right) \times \frac{4!}{2!} = {504} \]

\[ \left( \begin{array}{l} 7 \\ 4 \end{array}\right) \times \left( \begin{array}{l} 3 \\ 2 \end{array}\right) \times \left( \begin{array}{l} 1 \\ 1 \end{array}\right) \times 4! = {2520} \]

\[ \left( \begin{array}{l} 7 \\ 3 \end{array}\right) \times \left( \begin{array}{l} 4 \\ 3 \end{array}\right) \times \left( \begin{array}{l} 1 \\ 1 \end{array}\right) \times \frac{4!}{2!} = {1680} \]

\[ = 3 + 2 + 2 + 0\;\left( \begin{array}{l} 7 \\ 3 \end{array}\right) \times \left( \begin{array}{l} 4 \\ 2 \end{array}\right) \times \left( \begin{array}{l} 2 \\ 2 \end{array}\right) \times \frac{4!}{2!} = {2520} \]

\[ {28} + {84} + {252} + {420} + {504} + {2520} + {3504} + {2520} = {7984}. \]

答案为 \( {16384} - {7984} = {8400} \) 。

问题12。解答:(E)。

7可拆分为3、2、2

\[ \left( \begin{array}{l} 7 \\ 3 \end{array}\right) \times \left( \begin{array}{l} 4 \\ 2 \end{array}\right) \times \left( \begin{array}{l} 2 \\ 2 \end{array}\right) \times \frac{3!}{2! \times 1!} = {630} \]

问题13。解答:(D)。

三个登记处可拥有以下人数:

\( 4\;0\;0\;\left( \begin{array}{l} 4 \\ 4 \end{array}\right) \times 4! \times \frac{3!}{2!} = {72} \)

\( 3\;1\;0\;\left( \begin{array}{l} 4 \\ 3 \end{array}\right) \times 3! \times 3! = {144} \)

\( 2\;2\;0\;\left( \begin{array}{l} 4 \\ 2 \end{array}\right) \times 2! \times 2! \times \left( \begin{array}{l} 2 \\ 1 \end{array}\right) \times \frac{3!}{2!} = {72} \)

\( 2\;1\;1\;\left( \begin{array}{l} 4 \\ 2 \end{array}\right) \times 2! \times \left( \begin{array}{l} 2 \\ 1 \end{array}\right) \times \left( \begin{array}{l} 1 \\ 1 \end{array}\right) \times \frac{3!}{2!} = {72} \)

总数为360。

问题14。解答:(B)。

首先考虑顺序，并假设三个组各不相同。

\( 7 = 3 + 2 + 2 \) .

设将组划分的方案数为 \( x \) 。

则 \( x \times 3! = P \)

\[ \left( \begin{array}{l} 7 \\ 3 \end{array}\right) \times \left( \begin{array}{l} 4 \\ 2 \end{array}\right) \times \left( \begin{array}{l} 2 \\ 2 \end{array}\right) \times \frac{3!}{2!} = {630} \]

\[ \text{So}x = \frac{P}{3!} = \frac{630}{6} = {105}\text{.} \]

问题15。解答:(E)。

首先考虑顺序，并假设三个组各不相同。

\[ 7 = 3 + 2 + 2 \]

设将组划分的方案数为 \( x \) 。

则 \( x \times 3! = P \)

\[ P = \left\lbrack {\left( \begin{array}{l} 4 \\ 2 \end{array}\right) \times \left( \begin{array}{l} 3 \\ 1 \end{array}\right) }\right\rbrack \times \left\lbrack {\left( \begin{array}{l} 2 \\ 1 \end{array}\right) \times \left( \begin{array}{l} 2 \\ 1 \end{array}\right) }\right\rbrack \times \left\lbrack {\left( \begin{array}{l} 1 \\ 1 \end{array}\right) \times \left( \begin{array}{l} 1 \\ 1 \end{array}\right) }\right\rbrack \times \frac{3!}{2!} = = {216}. \]

\[ \text{So}x = \frac{P}{3!} = \frac{216}{6} = {36}\text{.} \]

问题16。解答:(B)。

方法1:

我们先给两队分别标为A队和B队

\( {16} + {56} + {112} + {70} = {254} \)

然后我们将结果除以2，因为最初两支队伍没有标签。总方式数即为 \( {254}/2 = {127} \) 。

方法二:

我们首先将这个问题视为“不同球放入不同盒子”的问题。

我们有两个盒子和8个球。答案是 \( {2}^{8} = {256} \) 。由于两支队伍没有不同标签，我们将结果除以2，得到 \( {256}/2 = {128} \) 。

同时8也可以写成 \( 8 + 0 \) 。然而，这种划分不会形成两支队伍。因此答案是 \( {128} - 1 = {127} \) 。

问题17。解答:360。

假设 \( \mathrm{F} \) 在4号房间，五位女生在1至3号房间。

每种情况下，我们有 \( \left( \begin{array}{l} 5 \\ 2 \end{array}\right) \times \left( \begin{array}{l} 3 \\ 2 \end{array}\right) \times \left( \begin{array}{l} 1 \\ 1 \end{array}\right) = {30} \) 种方式。

三种情况合计，共有 \( {30} \times 3 = {90} \) 种方式。

由于 \( \mathrm{F} \) 可以位于4、3、2或1号房间，我们最终得到 \( {90} \times 4 = {360} \) 种方式。